g.s.51 wrote: ↑Wed Sep 13, 2023 9:05 am
Toujours selon l'IA:
[...]
La probabilité de trouver un billet euro avec 6 mêmes chiffres consécutifs, en sachant que le dernier chiffre ne peut être 0, est donc de 9^5/9^10, soit environ 0.00001695, ou 0.001695%."
Alors avec ce qui me reste de mes souvenirs de statistiques et de probabilités...
Un numéro de série de billet en euro de la version Europa est composé de deux lettres suivies de dix chiffres, au format
<AB9999999998>:
- Où la lettre <A> indique l'imprimeur, soit 17 possibilités (cf. Wikipedia);
- Où la lettre <B> peut prendre en théorie n'importe quel valeur de l'alphabet;
- Où le chiffre <9> peut prendre en théorie n'importe quelle valeur entre 0 et 9;
- Où le chiffre <8> est le chiffre de contrôle et peut prendre en théorie n'importe quelle valeur entre 1 et 9;
Or le chiffre de contrôle est totalement dépendant des onze caractères qui le précèdent!
Cela veut donc dire que si les onze premiers caractères du numéro de série sont fixés, le douzième et dernier l'est aussi!
Il n'y a donc pas lieu de supposer que pour chaque combinaison de onze premiers caractères, il y a neuf possibilités. Par construction, il n'y en a qu'une.
Donc pour calculer l'ensemble des possibilités:
- La lettre <A> représente 17 possibilités;
- La lettre <B> représente 26 possibilités (de A à Z);
- Les chiffres <999999999> représente 1 000 000 000 possibilités (de 000000000 à 999999999);
- Le chiffre <8> représente 1 seule possibilité.
Soit un total théorique de:
17 × 26 × 1 000 000 000 × 1 = 442 milliards de possibilités.
On va simplifier les calculs en excluant les deux lettres qui ne font que multiplier par 17 × 26 le nombre de possibilités et raisonner uniquement sur les neuf premiers chiffres:
On a alors un milliard de possibilités.
Si nous recherchons le nombre de numéros de série comprenant exactement six fois et consécutivement un chiffre parmi les neuf premiers chiffres:
Soit
<C> le chiffre à répéter exactement six fois et consécutivement et
<D> n'importe quel autre chiffre. On a alors les possibilités:
- <CCCCCCDDD>
- <DCCCCCCDD>
- <DDCCCCCCD>
- <DDDCCCCCC>
Soit quatre possibilités pour un
<C> donné.
Donc:
- Le chiffre <C> représente 10 possibilités (de 0 à 9);
- Le chiffre <D> représente 9 possibilités (de 0 à 9 à l'exception de <C>);
- Il y a 4 manières d'écrire les neuf premiers chiffres pour avoir six fois consécutivement un chiffre donné.
Soit un total théorique de:
10 × 9^3 × 4 = 29 160 possibilités.
MAIS:
On souhaite que le chiffre de contrôle
<8> NE SOIT PAS
<C> (sinon il y aurait un septième
<C> dans le numéro de série).
Donc il faut prendre:
Si
<C>=0, alors le contrôle
<8> ne peut être égal à 0 et on a 9^3 × 4 = 2 916 manières d'avoir six 0 consécutifs dans le numéro de série.
Si
<C>≠0, alors il faut statistiquement supprimer 1/9 des cas où le contrôle
<8> sera égal à
<C>, soit:
9 × 9^3 × 4 × (8/9) = 23 328 possibilités.
On a donc 2 916 + 23 328 = 26 244 numéros de série comprenant exactement six fois et consécutivement un chiffre parmi les neuf premiers chiffres.
Recherchons maintenant le nombre de numéros de série dont les neuf premiers chiffres se terminent exactement par cinq <C>:
On n'a qu'une unique possibilité:
<DDDDCCCCC>
Là dessus, il faut que
<8> vaille
<C> pour créer la sixième occurrence.
Donc:
- Le chiffre <C> représente 9 possibilités (de 1 à 9) car 0 ne saurait être le chiffre de contrôle <8>;
- Le chiffre <D> représente 9 possibilités (de 0 à 9 à l'exception de <C>);
- Mais il faut statistiquement ne prendre que le 1/9 des cas où le contrôle <8> sera égal à <C>.
Soit un total théorique de:
9 × 9^4 × (1/9) = 6 561 possibilités.
D'où la probabilité de trouver un numéro de série composé d'exactement six chiffres identiques et consécutifs dans un billet de la série Europa:
(26 244 + 6 561) / 1 000 000 000 = 0,000 032 805 soit
0,003 280 5 %.
Calculant,
Jazzdream